В цилиндрической области пространства $R^n$ для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром изучается краевая задача В. Н. Врагова. При определенных условиях на коэффициенты уравнения установлены априорные оценки, которые позволяют доказать однозначную разрешимость краевой задачи в энергетическом классе. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости краевой задачи в энергетическом классе.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ СМЕШАННОГО ТИПА, MIXED TYPE EQUATION, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА, A PRIORI ESTIMATE, НЕРАВЕНСТВО, INEQUALITY, РАВЕНСТВО, EQUALITY, УСЛОВИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ, ORTHOGONALITY CONDITIONS

Данная работа является продолжением работы авторов [1] и посвящена исследованию разрешимости задач сопряжения (обобщенных задач дифракции) для неклассических дифференциальных уравнений составного типа высокого порядка. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТАВНОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА, HIGHER ORDER DIFFERENTIAL EQUATION OF COMPOSITE TYPE, ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION, СУЩЕСТВОВАНИЕ, EXISTENCE, ЕДИНСТВЕННОСТЬ, UNIQUENESS, CONJUGATE PROBLEM

Рассматривается двухфазная обратная задача Стефана по восстановлению правой части уравнения теплопроводности от времени при известном распределении по пространству. Предложен новый способ учета теплоты фазового перехода путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла. Построен вычислительный алгоритм, основанный на преобразовании исходной задачи к краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности. Приведены примеры численных расчетов.

Ключевые слова: ТЕПЛОТА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА, HEAT OF THE PHASE PASSAGE, РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ ИСТОЧНИК ТЕПЛА, DISTRIBUTED HEAT SOURCE, ЗАДАЧА СТЕФАНА, STEFAN PROBLEM, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ, BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED EQUATION, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРАВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, RECONSTRUCTION OF THE RIGHT-HAND SIDE OF THE HEAT EQUATION, СЕТОЧНАЯ ЗАДАЧА, РАЗНОСТНАЯ СХЕМА, DIFFERENCE SCHEME, MESH PROBLEM

Рассматриваются параболические уравнения второго порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания с переменными коэффициентами по $t\in [0, T]$, связанными с применением теории сингулярных интегральных уравнений. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гельдеровские классы их решений зависят как от нецелого показателя Гельдера, так и от знаков коэффициентов условий склеивания на концах интервала [0, T] при выполнении необходимых и достаточных условий на входные данные задачи.

Ключевые слова: ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ, FORWARD-BACKWARD PARABOLIC EQUATION, УСЛОВИЯ СКЛЕИВАНИЯ, КОРРЕКТНОСТЬ, ПРОСТРАНСТВО ГЕЛЬДЕРА, HOLDER SPACE, СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, SINGULAR INTEGRAL EQUATION, GLUING CONDITION, WELL-POSEDNESS

Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит интегральное условие, учитывающее воздействие внешних нагрузок на жесткую часть. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства решений, позволяющие упростить интерпретацию указанного интегрального условия.

Ключевые слова: ВЯЗКОУПРУГОЕ ТЕЛО, VISCOELASTIC BODY, ТОНКОЕ ЖЕСТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ, THIN RIGID INCLUSION, ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД, VARIATIONAL METHOD, КВАЗИСТАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА, QUASISTATIC PROBLEM

Показано, что для сильно вырождающихся неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка вида $$\sum\limits_{k=0}^{2p}\alpha_k(t)D_t^{2p-k}u(x,t)-Au(x,t)=f(x,t)$$ корректной будет задача с освобождением части границы от несения краевых условий.

Ключевые слова: КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, NONCLASSICAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ, GENERALIZED EQUATIONS, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР, ELLIPTIC OPERATOR

Рассматриваются две краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками и нелокальным условием по времени. При доказательстве единственности решений используется метод интегралов энергии. Для доказательства разрешимости задачи методом потенциалов построена функция Грина. Далее, с помощью функции Грина доказывается однозначная разрешимость исследуемых задач. При этом изучается влияние граничных условий на класс гладкости решений.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, THIRD ORDER EQUATIONS WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS, ФУНКЦИЯ ГРИНА, GREEN'S FUNCTION, МЕТОД ИНТЕГРАЛОВ ЭНЕРГИИ, METHOD OF ENERGY INTEGRALS, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, НЕЛОКАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ, NONLOCAL CONDITION, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, INTEGRAL EQUATION

Исследуется общая краевая задача нахождения решения для линейного эллиптического уравнения. Доказываются теоремы существования и единственности решения при выполнении соответствующих граничных условий и условий сопряжения на границе раздела двух сред.

Ключевые слова: КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, УСЛОВИЯ СОПРЯЖЕНИЯ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА, ELLIPTIC EQUATION, CONJUGATE CONDITION

Исследуется распределение скоростей деформаций и напряжений в окрестности торцов оболочки (краевой эффект). Используется двухслойная модель оболочки Ю. Н. Работнова. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применяется итерационная процедура. Проведено сравнение решений для оболочки конечной длины и полубесконечной оболочки.

Ключевые слова: КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ, BOUNDARY EFFECT, ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА, CYLINDRICAL SHELL, ПОЛЗУЧЕСТЬ, CREEP, ИТЕРАЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА, ITERATIVE PROCEDURE

Сравниваются расчеты токов и напряжений, наведенных в воздушной линии передачи при близком разряде молнии, по двум различным математическим моделям. Первая модель описывает электростатическую компоненту наведенных токов, вторая - электромагнитную компоненту. Показано, что пиковые значения обоих компонент по величине сравнимы между собой. Показано, что в условиях многолетней мерзлоты пиковые значения электростатической компоненты наведенных токов и напряжений могут быть на порядки больше, а значит, и опаснее, чем в регионах без мерзлоты.

Ключевые слова: МОЛНИЯ, LIGHTNING, ЛИНИЯ ПЕРЕДАЧИ, TRANSMISSION LINE, МНОГОЛЕТНЯЯ МЕРЗЛОТА, PERMAFROST, ИНДУЦИРОВАННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ, INDUCED VOLTAGE, НАВЕДЕННЫЕ ТОКИ, INDUCED CURRENTS

Представлена математическая модель процесса отсадки. Используются статистический подход для описания процесса и теория броуновского движения. Получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, помещенных в отсадочной машине. Рассчитаны распределения исследуемых зерен в различных случаях.

Ключевые слова: ОТСАДКА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, DISTRIBUTION, УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА, FOKKER-PLANCK EQUATION, ДИФФУЗИЯ, DIFFUSION, ВЕРОЯТНОСТЬ, PROBABILITY, МОДЕЛЬ, MODEL, JIGGING

Исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных с помощью некоэрцитивных форм, ранее рассматривались в [1-3]. В отличие от этих работ мы предполагаем выполнение более слабого условия эллиптичности (см. условие (5)).

Ключевые слова: ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ, DIRICHLET VARIATIONAL PROBLEM, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР, ELLIPTIC OPERATOR, НЕКОЭРЦИТИВНАЯ ФОРМА, NONCOERCIVE FORM

Исследуется нелокальная задача с интегральным условием для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка с волновым оператором в главной части. Методом Римана доказано существование регулярного решения исследуемой задачи при определенных условиях гладкости на заданные функции.

Ключевые слова: ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, PSEUDOPARABOLIC EQUATION, МЕТОД РИМАНА, RIEMANN METHOD, НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, INTEGRAL CONDITION, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION, NONLOCAL PROBLEM

Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для линеаризованной системы фазового поля, которая относится к системам, неразрешимым относительно производной по времени. Рассматривается задача со смешанным (стартовым и распределенным) управлением и функционалом качества, не учитывающим затраты на управление.

Ключевые слова: ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, OPTIMAL CONTROL, РАСПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА, DISTRIBUTED SYSTEM, ВЫРОЖДЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ, DEGENERATE EQUATIONS, КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ, OPTIMALITY CRITERION

Рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений высокого порядка вида $$u^(2m+1)+\sum\limits_{i=0}^{m}u^{(i)}a_{i}(t) + Lu = f,\quad (x, t)\in Q = (a, b)\times (0, T),$$ оператор $L$ имеет вид $$Lu\equiv 1\frac{1}{g(x)}(L_{0}u + \lambda_{0}u +Mu),$$ где $L_{0}$ - дифференциальный оператор по переменной x, M - его возмущение, а g - вещественная функция, которая может обращаться в 0 и менять знак. Сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной разрешимости данной задачи.

Ключевые слова: СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, SPECTRAL PROBLEM, ИНДЕФИНИТНАЯ МЕТРИКА, INDEFINITE METRIC, МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ, METHOD OF CONTINUATION IN A PARAMETER

Изучается разрешимость линейных обратных задач для уравнения Буссинеска с неизвестным коэффициентом, зависящими от временной переменной t. Для доказательства разрешимости задач используются два различных подхода. Доказаны теоремы существования регулярных решений для данных задач.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ БУССИНЕСКА, BOUSSINESQ EQUATION, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА, A PRIORI ESTIMATE, УСЛОВИЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, СУЩЕСТВОВАНИЕ, EXISTENCE, OVERDETERMINATION CONDITION

Данная работа посвящена исследованию линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка. Для изучаемой задачи доказываются теоремы существования и единственности решения.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА, HIGHER-ORDER EQUATION OF THE PARABOLIC TYPE, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, СУЩЕСТВОВАНИЕ, EXISTENCE, ЕДИНСТВЕННОСТЬ, UNIQUENESS

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION, ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА, SOBOLEV SPACE, НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM, МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ, METHOD OF CONTINUATION IN A PARAMETER, АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ, A PRIORI ESTIMATES, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION

Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими переменные коэффициенты по $t\in [0, T]$. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гельдеровские классы их решений зависят как от знаков коэффициентов условий склеивания (включая концы интервала [0, T]), так и от нецелого показателя пространства Гельдера.

Ключевые слова: РАЗРЕШИМОСТЬ, SOLVABILITY, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ, FORWARD-BACKWARD PARABOLIC EQUATION, УСЛОВИЯ СКЛЕИВАНИЯ, GLUING CONDITIONS, СИСТЕМА СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ, SYSTEMS OF SINGULAR EQUATIONS, ПРОСТРАНСТВО ГЕЛЬДЕРА, HOLDER SPACE

Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего трещину и тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит краевые условия типа неравенств, а также интегральное условие, описывающее равновесие жесткого включения. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства гладкости решений, а именно существование производной по временной переменной.

Ключевые слова: ВЯЗКОУПРУГОСТЬ, VISCOELASTICITY, ТРЕЩИНА, CRACK, ТОНКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ, RIGID INCLUSION, МАТЕРИАЛЫ С ПАМЯТЬЮ, MATERIALS WITH MEMORY, ВАРИАЦИОННОЕ НЕРАВЕНСТВО, VARIATIONAL INEQUALITY, КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, BOUNDARY CONDITIONS OF INEQUALITY TYPE, УСЛОВИЯ НЕПРОНИКАНИЯ, NONPENETRATION CONDITION

Рассматривается обратная задача об определении правой части для псевдопараболических уравнений 3-го порядка. В качестве условия переопределения рассматриваются значения решения в отдельных точках. В пространствах Соболева доказывается теорема существования и единственности решений и приводится оценка устойчивости.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, PSEUDOPARABOLIC EQUATION, ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ, EXISTENCE AND UNIQUENESS THEOREM, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM

Рассматривается задача об определении функции источников в математических моделях массопереноса по данным дополнительных измерений в отдельных точках области. Искомая неизвестная функция является правой частью в параболическом уравнении конвекции-диффузии относительно концентрации переносимого вещества. В частности, эта функция характеризует источники загрязнения и их местоположение. В работе приведены некоторые теоретические результаты, построен численный алгоритм и описаны результаты численных экспериментов. Известные ранее алгоритмы в основном основаны на минимизации некоторого функционала, не являющегося выпуклым. Отличие построенного алгоритма от известных ранее состоит в том, что он является прямым, не требует большого количества вычислений и показывает хорошую сходимость к решению. Численная реализация основана на методе конечных элементов.

Ключевые слова: АЛГОРИТМ, ALGORITHM, ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, PARABOLIC EQUATION, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, FINITE ELEMENT METHOD

Доказано, что для произвольной матрицы инвариантное подпространство, отвечающее локализованной группе собственных чисел, близких по модулю к норме матрицы, состоит из почти собственных векторов и это пространство почти ортогонально другим инвариантным подпространствам матрицы. Аналогично для диссипативной матрицы инвариантное подпространство, отвечающее локализованной группе собственных чисел, близких к вещественным числам, состоит из почти собственных векторов, и это подпространство почти ортогонально другим инвариантным подпространствам матрицы.

Ключевые слова: СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, ПОДПРОСТРАНСТВА, SUBSPACE, БЛИЗКИЕ К ОРТОГОНАЛЬНЫМ, CLOSE TO ORTHOGONAL, ДИССИПАТИВНЫЕ МАТРИЦЫ, DISSIPATIVE MATRIX, EIGENVALUE

В цилиндрической области $Q=\Omega\times(0,T)$ рассматривается краевая задача для одного нелинейного неклассического уравнения третьего порядка по времени с меняющимся направлением времени. Доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемой краевой задачи. При этом к решению применяется стационарный метод Галеркина. Показано, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность $u_{\mu}$ слабо компактной последовательности $u_m$ слабо сходится к решению краевой задачи.

Ключевые слова: СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ГАЛЕРКИНА, STATIONARY GALERKIN METHOD, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, APPROXIMATE SOLUTION, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА, A PRIORI ESTIMATE

Рассматривается вариационный подход к идентификации линейных стационарных динамических моделей. Проводится сравнение его с другими известными подходами к оцениванию коэффициентов линейных моделей динамических объектов по результатам наблюдений: методы ортогональной регрессии и алгебраические методы идентификации. Получены уравнения для оценок, даваемых рассмотренными методами, как функции длины интервала наблюдения.

Ключевые слова: КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ, DYNAMICAL PIECEWISE-LINEAR APPROXIMATION, ВАРИАЦИОННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ, VARIATIONAL IDENTIFICATION, АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ, ALGEBRAIC IDENTIFICATION, ОРТОГОНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ, ORTHOGONAL REGRESSION, ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, DYNAMICAL MODEL, ИДЕНТИФИКАЦИЯ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ, REAL-TIME IDENTIFICATION

Представлено доказательство обобщенной формулы Ито-Вентцеля с использованием стохастической аппроксимации и функции плотности нормального распределения. Ключевые слова: формула Ито-Вентцеля, обобщенное уравнение Ито, пуассоновская мера, дельта-функция, плотность нормального распределения, сходимость в среднем квадратическом.

Ключевые слова: ФОРМУЛА ИТО-ВЕНТЦЕЛЯ, ITO-WENTZELL FORMULA, ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ИТО, GENERALIZED ITO EQUATION, ПУАССОНОВСКАЯ МЕРА, ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ, ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, DENSITY OF NORMAL DISTRIBUTION, СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ, MEAN SQUARE CONVERGENCE, POISSONMEASURE, $\delta$-FUNCTION

Изучаются полугруппы, над которыми все правые полигоны финитно аппроксимируемы. Охарактеризованы группы с этим свойством. Доказано, что если все полигоны над полугруппой аппроксимируются конечными, порядки которых ограничены, то полугруппа равномерно локально конечна, т. е. существует функция $f(n)$ такая, что порядок любой $n$-порожденной подполугруппы меньше $f(n)$.

Ключевые слова: ПОЛИГОН НАД ПОЛУГРУППОЙ, ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМЫЙ ПОЛИГОН, РАВНОМЕРНО ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНАЯ АЛГЕБРА, ACT OVER A SEMIGROUP, RESIDUALLY FINITE ACT, UNIFORMLY LOCALLY FINITE ALGEBRA

Рассматривается задача о равновесии пластины, контактирующей с жестким неподвижным препятствием на части внешней кромки. На границе контакта предложено условие, описывающее непроникание точек пластины и препятствия. Предполагается, что нормаль к поверхности возможного контакта пластины с препятствием образует малый угол со срединной плоскостью пластины. Доказана однозначная разрешимость вариационной задачи о равновесии пластины с условиями типа Синьорини. Найдена дифференциальная формулировка, эквивалентная исходной при достаточной гладкости решения.

Ключевые слова: ПЛАСТИНА, PLATE, ТРЕЩИНА, CRACK, УСЛОВИЕ НЕПРОНИКАНИЯ, NO-PENETRATION CONDITION, ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА, VARIATIONAL PROBLEM

Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева линейной обратной задачи об определении правой части в параболической системе уравнений. В качестве условия переопределения задаются данные на системе поверхностей. Доказана корректность задачи при определенных условиях на граничные операторы.

Ключевые слова: ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, PARABOLIC SYSTEM, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, УСЛОВИЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, OVERDETERMINATION CONDITION

Предлагается численный метод решения задачи минимизации расхода ресурсов для линейных систем с постоянным временным запаздыванием как в фазовых состояниях системы, так и в управлении. Этот метод является обобщением метода решения указанной задачи с запаздыванием только в фазовом состоянии системы. Доказана глобальная сходимость предлагаемого метода к $\varepsilon$-оптимальному решению. Под $\varepsilon$-оптимальным решением понимается допустимое управление $u(t),\, t\in [0, T]$, переводящее систему в $\varepsilon$-окрестность начала координат и доставляющее функционалу задачи значение, отличное от оптимального не более чем на $\varepsilon$.

Ключевые слова: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, DELAY DIFFERENTIAL EQUATION, ФУНКЦИОНАЛ, FUNCTIONAL, ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, OPTIMAL CONTROL, ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД, NUMERICAL METHOD

Моделирование пассивного трансмембранного транспорта малых молекул методами молекулярного моделирования сопряжено с рядом сложностей по той причине, что за доступное время моделирования практически невозможно наблюдать процесс спонтанной диффузии и измерять усредненные макроскопические характеристики процесса. В связи с этим интерес вызывают подходы и методы, используя которые, можно за достижимое время получать результат, позволяющий проводить сравнительное изучение или сравнение с натурными экспериментальными данными. В данной работе с помощью методов управляемой молекулярной динамики и метода Umbrella sampling изучен процесс трансмембранного транспорта молекул воды через липидный бислой. Использован бислой 1,2-димиристоил-sn-глицеро-3-фосфатидилхолина (ДМФХ) в силовом поле OPLS-AA. Профили средней силы построены из данных расчетов с длинами траекторий 6-10 нс. Произведено сравнение получаемых профилей как при различном пространственном положении пробной (проникающей через бислой) молекулы воды, так и при разном шаге выбора стартовых конфигураций, а также при различных начальных значениях скоростей атомов в системе. Общее время моделирования составило более 10 мс. Показана значительная зависимость результатов расчетов от начальных данных и протокола вычислительного эксперимента. В рамках подхода произведены оценка кинетических параметров проникновения и оценка профиля потенциала средней силы, а также изучена зависимость вычисляемых значений от начальных данных эксперимента. Оценена погрешность вычислений на основе анализа данных ряда численных экспериментов.

Ключевые слова: МОЛЕКУЛЯРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, MOLECULAR MODELING, МЕТОД ЗОНТИЧНОЙ ВЫБОРКИ, UMBRELLA SAMPLING METHOD, БИОМЕМБРАНЫ, BIOMEMBRANES

В методе Нейштадта-Итона необходимо решать дискретное уравнение для нахождения начального значения сопряженной системы. В процессе решения этого уравнения на каждом шаге необходимо неоднократно находить решение дифференциального уравнения для определения оптимальной траектории. Предлагается «скользящая» аппроксимация решения дискретного уравнения для каждой компоненты с помощью алгебраической функции с последующей ее экстраполяцией. Экстраполяция позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты.

Ключевые слова: ДОПУСТИМОЕ УПРАВЛЕНИЕ, ADMISSIBLE CONTROL, ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, OPTIMAL CONTROL, СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА, ADJOINT SYSTEM

Предлагается квазитрехмерная математическая модель теплового процесса в системе подшипников на общем валу, учитывающая скорость вращения вала. Приводятся результаты определения временного шага при численном решении задачи методом конечных разностей, исследования взаимного влияния температурных полей в системе подшипников и определения условий, при которых возможно упрощение математической модели.

Ключевые слова: ПОДШИПНИК СКОЛЬЖЕНИЯ, PLAIN BEARING, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, MATHEMATICAL MODEL, ТРЕНИЕ, FRICTION, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, HEAT CONDUCTIVITY, ТЕМПЕРАТУРА, TEMPERATURE, УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, HEAT EQUATION, ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ, NUMERICAL SOLUTION

Рассматривается частный случай краевой задачи В. Н. Врагова, когда уравнение смешанного типа принадлежит гиперболическому типу вблизи нижнего основания и гиперболо-параболическому типу на верхнем основании цилиндрической области. Для исследования краевой задачи используется модифицированный (нестационарный) метод Галеркина с привлечением метода регуляризации. Для данной краевой задачи построено приближенное решение с помощью решения системы ОДУ третьего порядка. При этом получена оценка погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по переменным $x\in R^N$.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ СМЕШАННОГО ТИПА, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА, МЕТОД ГАЛЕРКИНА, НЕРАВЕНСТВО, РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ, MIXED TYPE EQUATION, A PRIORI ESTIMATE, GALERKIN METHOD, INEQUALITY, REGULARIZATION

Изучается нелокальная задача для параболических уравнений $$u_t+A_0u=\mu u+f$$ с самосопряженным эллиптическим оператором A0 в случае задания интегрального по временной переменной условия $$\int\limits_{0}^{T}N(t)u(x,t)dt=0.$$ Приводятся условия, дающие существование, несуществование, единственность и неединственность регулярных решений.

Ключевые слова: ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПО ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, PARABOLIC EQUATION, INTEGRAL EQUATION IN A TIME VARIABLE

Представлен новый алгоритм генерации псевдослучайных чисел, основанный на решении уравнений вида $f(x) = 0\quad mod p^n (n\rightarrow\infty).$ Определен способ построения ключей генератора, позволяющих генерировать последовательности, не имеющие периода. Исследованы статистические свойства таких последовательностей с помощью NIST STS. Также проведен обзор возможных обобщений схемы.

Ключевые слова: ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, 2-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА, ПЕРИОД, СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ, RANDOM NUMBER GENERATOR, 2-ADIC NUMBERS, PERIOD, STATISTICAL TESTS

Рассматриваются нормальные плоские карты $M_5$ с минимальной степенью $5$. Высота $5$-звезды есть максимальная степень ее вершин. Через $h(S_5)$ обозначим минимальную высоту $5$-звезд с центром в $5$-вершине в данной $M_5$. Известно, что существуют нормальные плоские карты $M_5$ с минимальной степенью $5$ такие, что $h(S_5)$ неограниченно велика. В 1940 г. Лебег доказал, что если $M_5$ не содержит $4$-звезд циклического типа $(\overrightarrow{5,6,6,5})$ с центром в $5$-вершине, то $h(S_5)\le 41$. В 2013 г. О.В.Бородин, А.О.Иванова и Т.Р.Йенсен понизили эту оценку до $28$ и дали конструкцию $M_5$ без $(\overrightarrow{5,6,6,5})$-звезд с $h(S_5)=20$. Мы доказываем, что если $M_5$ не содержит $4$-звезд циклического типа $(\overrightarrow{5,6,6,5})$ с центром в $5$-вершине, то $h(S_5)\le 23$.

Ключевые слова: ПЛОСКАЯ КАРТА, ПЛОСКИЙ ГРАФ, 3-МНОГОГРАННИК, СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА, ЗВЕЗДА, ВЫСОТА, PLANE MAP, PLANE GRAPH, 3-POLYTOPE, STRUCTURAL PROPERTIES, STAR, HEIGHT

Изучается поток биссектрис для многоугольников на плоскости. Приводим доказательство сходимости такого дискретного геометрического потока в случае строгой выпуклости начального многоугольника.

Ключевые слова: ДИСКРЕТНЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОТОК, ЭВОЛЮЦИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА ПЛОСКОСТИ, DISCRETE GEOMETRIC FLOW, POLYGON EVOLUTION

In this communication, we are concerned with the free boundary problem of primitive equations for the coupled atmosphere and ocean in three-dimensional strip with surface tension. By using the so-called p-coordinates and another coordinate transformation fixing the time-dependent domain, the temporally local existence of a unique strong solution to the transformed problem is proved in Sobolev-Slobodetskiy spaces.

Ключевые слова: PRIMITIVE EQUATIONS, COUPLED ATMOSPHERE AND OCEAN MODEL, FREE BOUNDARY PROBLEM, SOBOLEV-SLOBODETSKIY SPACES, STRONG SOLUTION

Рассматривается численное решение задачи теплопереноса с фазовым переходом, которая описывает процесс распространения тепла в многолетнемерзлых грунтах при воздействии бесканальных подземных трубопроводов. Расчетная область представляет собой прямоугольник с тремя сечениями трубопроводов и несколькими слоями грунтов. Для каждого слоя грунта учитываются его физические свойства: теплопроводность, теплоемкость, температура замерзания, влажность и плотность. Численное решение задачи реализовано методом конечных элементов на треугольной сетке. Полученные результаты численных расчетов сравниваются с результатами натурных наблюдений.

Ключевые слова: PHASE TRANSITION, PERMAFROST, FINITE ELEMENT METHOD, ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД, МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛЫЕ ГРУНТЫ, МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

In the theory and practice of inverse problems for partial differential equations (PDEs) much attention is paid to the identification problem of coefficients from some additional information. This article deals with the problem of determining in a multidimensional parabolic equation the lower coefficient that depends only on time. To solve numerically a nonlinear inverse problem, linearized approximations in time are constructed using standard finite element procedures in space. The computational algorithm is based on a special decomposition, where the transition to a new time level is implemented via solving two standard elliptic problems. The numerical results presented here for a model 2D problem demonstrate capabilities of the proposed computational algorithms for approximate solving inverse problems.

Ключевые слова: INVERSE PROBLEM, IDENTIFICATION OF THE COEFFICIENT, PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION, FINITE ELEMENT APPROXIMATION, DIFFERENCE SCHEME

Приводятся результаты исследования зависимости времени установления тока в алюминиевом электролизере с обожженными анодами от физических параметров при замене анода. Математическая модель строится на основе упрощенной двумерной термо-электрической модели алюминиевого электролизера. Расчеты выполнены на основе метода конечных элементов, приводятся результаты численного моделирования.

Ключевые слова: ALUMINUM ELECTROLYZER, ANODE BURNING, ANODE REPLACEMENT, ANODE STABILIZATION, АЛЮМИНИЕВЫЙ ЭЛЕКТРОЛИЗЕР, ОБЖИГ АНОДА, ЗАМЕНА АНОДА, УСТАНОВЛЕНИЕ ТОКА

Гомоклинические циклы, образованные гетероклиническими траекториями и стационарными точками, существуют в основном в динамических системах с симметрией и могут подвергаться различным бифуркациям. В статье изучаются глобальные аспекты модели генных сетей с тремя переменными и численно исследуется бифуркация гомоклинического цикла, состоящего из трех седел и трех гетероклинических орбит. Представляет большой интерес тот факт, что бифуркация гомоклинического цикла характеризуется высокой параметрической чувствительностью к начальным данным. В этом случае при небольших возмущениях концентраций мы сталкиваемся со случайным переходом от релаксационных колебаний, соответствующих наблюдаемому устойчивому предельному циклу, близкому к треугольному гомоклиническому циклу, к различным устойчивым стационарным состояниям. Сценарий разрушения треугольного гомоклинического цикла имеет простой биологический смысл: в окрестности бифуркационных значений параметров в то время, когда происходит генерация релаксационных импульсов в генной сети, малые флуктуационные выбросы концентраций могут «сбивать» систему с колебательного режима и случайным образом стабилизировать ее к существенно различным стокам.

Ключевые слова: GENE NETWORK, MATHEMATICAL MODEL, HETEROCLINIC ORBIT, HOMOCLINIC CYCLE, SELF-OSCILLATIONS, HIGH PARAMETRIC SENSITIVITY, ГЕННАЯ СЕТЬ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКАЯ ОРБИТА, ГОМОКЛИНИЧЕСКИЙ ЦИКЛ, АВТОКОЛЕБАНИЯ, ВЫСОКАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ